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Ann. Phys. Fr.
Volume 16, Number 3, 1991
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Page(s) | 345 - 360 | |
DOI | https://doi.org/10.1051/anphys:01991001603034500 | |
Published online | 01 June 2004 |
On the physical importance of the "logarithmic transformation" in statistical mechanics
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Laboratoire de Physique Théorique et Hautes Energies, associé au CNRS UA 280, Université Paris V, Tour 24-14, 5ème étage, 2 place Jussieu 75251 Paris, France
2
Groupe de Physique des Solides, associé au CNRS UA 17, Universités Paris 7 et Paris 6, Tour 23, 2 place Jussieu, 75251 Paris, France
The basic functions of statistical mechanics (number of accessible states, or partition function, or grand partition function,..., according to the statistical ensemble considered) are most often replaced by their logarithms (entropy, or free energy, or grand potential,...). This "logarithmic transformation" is systematically used, in particular, to approximate probability distributions. Its essential virtue is then to enlarge considerably the validity domain of the approximation. The origin of such an interesting property lies in the extensive nature of the "logarithmic quantities". However, the traditional proof of the canonical distribution is shown by the foregoing general argument to have limited validity, excluding the physically most important values of the energy. This unexpected though unavoidable problem can be overcome in practice, because the "logarithmic transform" of the probability of the various microstates, not the probability itself, plays the crucial role in the physical predictions. Now this logarithm of the canonical probability is given, to an excellent approximation, by the usual proof.
Résumé
Les fonctions fondamentales de la mécanique statistique (nombre d'états accessibles, ou fonction de partition, ou grande fonction de partition,..., selon l'ensemble statistique considéré) sont le plus souvent remplacées par leur logarithme (entropie, ou énergie libre, ou grand potentiel,...). Cette "transformation logarithmique" est en particulier utilisée de façon systématique pour approximer des distributions de probabilité. Sa principale vertu est alors d'étendre considérablement le domaine de validité de l'approximation. Cette intéressante propriété a son origine dans l'extensivité des "quantités logarithmiques". Cependant, à la lumière de cet argument général, la validité de la démonstration traditionnelle de la distribution canonique apparaît limitée à un domaine qui exclut les valeurs de l'énergie les plus importantes du point de vue physique. Ce problème, inattendu mais inévitable, trouve sa solution pratique dans le fait que c'est la "transformée logarithmique" de la probabilité des divers micro-états, et non cette probabilité elle-même, qui importe pour les prédictions physiques ; et ce logarithme de la probabilité canonique est donné à une excellente approximation par la démonstration habituelle.
PACS: 0520G – Classical ensemble theory
Key words: statistical mechanics / logarithmic transformation / statistical mechanics / accessible states / partition function / grand partition function / statistical ensemble / entropy / free energy / grand potential / probability distributions / canonical distribution / microstates
© EDP Sciences, 1991