Derivation of the master equation for the atomic density matrix for line polarization studies in the presence of magnetic field and depolarizing collisions in astrophysics

Laboratoire Astrophysique, Atomes et Molécules, URA 0812 du C.N.R.S., Département Atomes et Molécules en Astrophysique, Observatoire de Paris, Section de Meudon, F-92195 Meudon Cedex, France

Abstract

In this paper, we derive in a coherent manner, starting from the basic equations of evolution of a quantum mechanical system, the master equation for the density matrix of an atom interacting with a bath of perturbers (electrons, protons) and photons, in the presence of a weak magnetic field (in the domain of sensitivity to the Hanle effect: 0.1 ≲ ωLτ ≲ 10). This paper has been inspired by astrophysical purposes: the interpretation of line polarization induced by anisotropic excitation of the levels, eventually modified by the local magnetic field (the Hanle effect); the polarization can be due to scattering of the incident anisotropic radiation, as in solar prominences, or to impact polarization, as in solar flares. The physical conditions are then those of numerous astrophysical media: any directions of polarization and magnetic field, two-level atom approximation not valid, weak radiation field (so that the bare atom description is convenient), weak density of perturbers (so that the impact approximation is valid). The master equation is derived in the framework of the impact approximation, using the S-matrix formalism without perturbation development in a first step; the Hanle effect is included. The impact approximation leads to a decoupling of the interactions with the perturbers and with the radiation, which are then additive and can be treated independently. The perturbation development is introduced in a second step. The population and coherence transfer probabilities are then obtained for a polarized neutral atom interacting with collisional charged perturbers on the one hand, in the frame of the semi-classical perturbational theory, and on the other hand for a polarized atom interacting with an anisotropic and eventually polarized incident radiation. The linear polarization of the emitted radiation is studied in the following paper which is devoted to the derivation of the transfer equation for polarized radiation in the presence of a magnetic field.

Résumé

Dans ce travail, nous obtenons d'une manière cohérente, à partir des équations fondamentales d'évolution d'un système quantique, l'équation pilote pour la matrice densité d'un atome en interaction avec un bain de perturbateurs (électrons, protons) et de photons, soumis à un champ magnétique faible (dans le domaine de sensibilité à l'effet Hanle: 0.1 ≲ ωLτ ≲ 10). Ce travail a été motivé par des buts astrophysiques : l'interprétation de la polarisation de raies induite par excitation anisotrope des niveaux, et modifiée éventuellement par le champ magnétique local (effet Hanle); la polarisation peut résulter soit de la diffusion d'un rayonnement incident anisotrope comme dans les protubérances solaires, soit de l'impact de particules directives, comme dans les éruptions solaires. Les conditions physiques sont donc celles de nombreux milieux astrophysiques : directions quelconques de la polarisation et du champ magnétique, approximation de l'atome à 2 niveaux insuffisante, champ de rayonnement faible (le formalisme de l'atome nu suffit), densité de perturbateurs faible (l'approximation des impacts est valable). L'équation pilote est obtenue dans le cadre de l'approximation des impacts, en utilisant le formalisme de la matrice de collision S sans développement en série de perturbations dans une première étape. L'approximation des impacts conduit au découplage des interactions avec les perturbateurs et avec le rayonnement, qui sont alors additives et peuvent être traitées indépendamment. Le développement en série de perturbations est introduit dans une deuxième étape. On obtient alors des probabilités de transfert de population et de cohérence d'une part pour l'interaction entre des perturbateurs chargés et l'atome neutre polarisé, dans le cadre de la théorie "semi-classique-perturbations", d'autre part pour l'interaction entre l'atome polarisé et un rayonnement incident anisotrope et éventuellement polarisé. La polarisation linéaire du rayonnement émis fait l'objet de l'article suivant qui est consacré à l'obtention de l'équation de transfert du rayonnement polarisé en présence d'un champ magnétique faible.