La percolation

Modèles, simulations analogiques et numériques

¹ Département de physique des systèmes désordonnés, Université de Provence, Centre Saint-Jérome, F 13397 Marseille Cedex 13, France.
² Commissariat à l’Energie Atomique. Orme des Merisiers., France.
³ ESPCI et Université de Paris-Sud., France.
⁴ Département d’Electronique. Université de Provence., France.
⁵ Institut für Theoretische Physik. Universität zu Köln., France.

Résumé

Cette revue a été écrite à partir des thèses de J.P. Clerc, G. Giraud et J. Roussenq et de différentes contributions du “Groupe des Systèmes Désordonnés” sur les applications de la percolation entre 1975 et 1981. Dans notre activité de recherche, tout comme dans la présentation de cet article, nous avons considéré plusieurs problèmes de percolation sous les éclairages croisés de simulations analogiques, d’expériences numériques et de modèles théoriques inspirés des transitions de phases (lois d’échelle et renormalisation spatiale).

Le premier chapitre donne des définitions des concepts statistiques utilisés en percolation et décrits dans plusieurs revues récentes. Ces notions sont précisées à partir de simulations numériques de type Monte Carlo décrites dans le chapitre II. Les effets de taille finie des modèles théoriques sont une limitation imposée sur la précision des comportements critiques mais, en retour, apportent des informations complémentaires sur, en particulier, les effets de longueur de corrélation. Les simulations sont faites près du seuil de percolation p = p_c (p est la probabilité qu’une fraction de sites ou de liens d’un réseau soit active) mais aussi au voisinage de p = 0 ou p = 1 où on peut étudier en détail les propriétés statistiques des amas finis. Nous présentons aussi le problème de marche au hasard sur un réseau incomplètement connecté, “la fourmi dans un labyrinthe”, qui réalise une liaison entre les notions de percolation et de diffusion.

Dans le chapitre III, nous discutons l’apport original de la percolation aux problèmes de transport en considérant la conductivité d’un mélange aléatoire composé par exemple d’inclusions sphériques de conductivité σ₁ dans une matrice de conductivité σ₂. Les théories classiques, en particulier celle de milieu effectif, ne peuvent décrire correctement la conductivité près du seuil de conduction, obtenue par une fraction critique d’objets conducteurs lorsque σ₁/σ₂ ⪢ 1. Les simulations analogiques permettent d’étudier le seuil de percolation et le comportement critique de la conductivité à 2 et 3 dimensions. Elles permettent d’évaluer l’effet de l’absence de réseau périodique (hypothèse d’universalité) et justifient aussi l’utilisation d’invariants approchés entre connectivité ou fraction volumique et seuils de percolation.

Le chapitre IV traite deux types de problèmes pour lesquels différentes directions d’espace jouent des rôles différents. Les problèmes de taille finie, par exemple dans les films minces, prolongent des discussions des chapitres II et III. Des effets d’anisotropie, tels qu’une probabilité d’existence d’un lien soit fonction de son orientation sont aussi étudiés.

Le dernier chapitre est une première approche des effets de surface en percolation. Nous discutons en particulier le cas où un réseau à 2 ou 3 dimensions contient une “surface spéciale” à 1 ou 2 D avec une probabilité p_s différente de la probabilité en volume en utilisant une analogie avec des systèmes magnétiques.

Nous espérons que les exemples limités développés dans cet article participeront à l’ouverture vers les importants problèmes concrets posés par la physique des matériaux aléatoires macroscopiques (MIAM).

Abstract

This review article is based on three thesis by J.P. Clerc, G. Giraud, J. Roussenq and on various contributions on applications of the concept of percolation done in the “Groupe des Systèmes Désordonnés”, in Marseille, between 1975 and 1981. In this article, we have attempted, as we had also done in our research activity, to consider the problems in percolation using several complementary approaches : experimental simulations, numerical experiments, as well as statistical treatments and theoretical methods inherited from phase transition problems (such as scaling and real space renormalization).

The first chapter gives a simple introduction of the statistical concepts in percolation theory which can be found in more detail in several recent review articles.

In chapter II we describe the results of numerical simulations, based on Monte-Carlo methods, which also give a concrete grasp to the basic statistical definitions. As in any simulation method they are confronted to the problem of finiteness of the sample size. On the other hand, the consideration of the size effects provides original informations on parameters such as the correlation length. Simulations are made in the critical regime around the percolation threshold p = p_c (where p is the probability that a given fraction of sites or bonds are active in a lattice) but also near p = 0 or p = 1 where the statistical characteristics of clusters can also be studied. We also discuss a method of exploration on incompletely connected networks, known as “the ant on a labyrinth”. This random walk problem provides an intermediate situation between percolation and diffusion.

In chapter III we discuss in some details the original contribution of percolation to the study of the electrical conductivity of a composite medium constituted, for example, by spherical inclusions of conductivity σ₁ in a matrix of conductivity σ₂. Classical theories and, in particular, the effective medium one, are inappropriate to describe the behavior of conductivity near the conduction threshold, obtained for a critical fraction of conducting objects, when σ₁/σ_{2 ⪢} 1. The analog simulations discussed in this chapter have been used for the determination of percolation thresholds and for the critical behavior of conductivity in 2 and 3 dimensional problems. They also test the influence of the absence of regular network on such systems (universality hypothesis) and they justify the use of approximate relations between connectivity or volume fraction and threshold.

Chapter IV discusses two classes of problems in which different directions of space are not identical. Finite size problems, as in films of finite thickness and infinite size in two other directions, extend discussions of chapters II and III. Anisotropic problems, where a probability of existence of a bond is a function of direction, are also considered.

The last chapter is a first approach of the study of surface phenomena in percolation. For example we consider the case where a 2 or 3 dimensional lattice contains a “special surface” in 1 or 2 D with a probability p_s different from that of the bulk. We use analogies with the effect of a “special surface” on the magnetic properties of a material.

Hopefully, the limited examples considered in this review will serve as basic systems in the important developments expected from problems in the physics of macroscopic disordered matter (MIAM).