Élements d'introduction à l'invariance conforme

LPLI - Institut de Physique 1 Bd E Arago 57070 METZ, France

Résumé

Ce texte constitue une introduction élémentaire au concept d'invariance conforme et à ses applications dans l'étude des phénomènes critiques bidimensionnels. L'objectif est de fournir un accès aussi linéaire et pédagogique que possible aux idées de base de ce vaste sujet. Après une présentation sommaire des propriétés générales des transformations conformes en dimension quelconque, nous nous intéressons plus spécifiquement au cas de la dimension 2. Le coeur de la discussion porte alors sur les conséquences de l'action de ce groupe de symétrie sur les théories de champs bidimensionnelles et en particulier, sur les liens entre la théorie des représentations de l'algèbre de Virasoro et la structure des fonctions de corrélation des théories de champs invariantes conformes. Enfin, après avoir montré de quelle manière l'étude du modèle d'Ising peut être ramenée à celle d'une théorie de champs de fermions de Majorana, nous voyons comment le formalisme général discuté précédemment s'applique au cas de ce modèle au point critique.

Abstract

These notes constitute an elementary introduction to the concept of conformal invariance and its applications to the study of bidimensional critical phenomena. The aim is to give an access as pedestrian as possible to this vast subject. After a brief account of the general properties of conformal transformations in D dimensions, we study more specifically the case D = 2. The center of the discussion is then the consequences of the action of this symmetry group on bidimensional field theories, and in particular the links between the representations of the Virasoro algebra and the structure of the correlation functions of conformal field theories. Finally after showing how the Ising model reduces to a Majorana fermionic field theory, we see how the general formalism previously discussed can be applied to the Ising case at the critical point.