Introduction à une théorie des systèmes composites : exemples simples de matériaux lamellaires

Equipe de Dynamique des Interfaces, Laboratoire de Dynamique et Structures de Matériaux Moléculaires, URA Associée au CNRS n° 801, Université des Sciences et Technologies de Lille, 59655 Villeneuve d'Ascq Cedex, France

Résumé

Cet article de revue est essentiellement une introduction à la théorie de la réponse linéaire dans les systèmes composites. Les matériaux composites sont définis ici comme étant formés de parties homogènes différentes reliées par des interfaces. Ce type de matériaux peut être construit à partir de "briques" homogènes découpées dans des matériaux infinis. Ces opérations de découpage sont effectuées par l'intermédiaire d'opérateurs de clivage. Les "briques" sont ensuite assemblées grâce à un opérateur de couplage. Cette façon de construire un système composite permet d'obtenir une équation générale reliant la fonction réponse (appelée aussi fonction de Green) du système composite aux éléments des fonctions réponses des matériaux infinis et aux opérateurs de clivage et de couplage. Une formulation générale unifiée valable aussi bien en algèbre des matrices pour les systèmes discrets qu'en algèbre différentielle pour les systèmes continus en résulte. Toute théorie générale est abstraite ; sa compréhension est grandement facilitée par la pratique d'exemples simples. Le but principal de cet article de revue est d'introduire une théorie générale des systèmes composites grâce à des exemples simples et analytiques empruntés au domaine des phonons, des magnons et des électrons dans les matériaux composites lamellaires (multicouches). Afin d'atteindre ce but, les développements mathématiques des exemples sont donnés le plus explicitement possible. Une revue bibliographique de ce qui a été déjà réalisé en théorie de la réponse dans les matériaux composites est donnée également. Une étude prospective et non exhaustive des très nombreux domaines où cette théorie peut être utile prolonge la revue bibliographique.

Abstract

This review paper is mostly an introduction to the linear response theory for composite systems. The composite materials are defined here as being formed by different homogeneous parts connected together by interfaces. This type of material can be constructed with the help of homogeneous "bricks" cuted out from infinite materials. This cutting procedures are realized with the help of cleavage operators. The "bricks" are then put together by a coupling operator. This construction manner enables to obtain for any composite system a general equation relating the composite response function (called also Green's function) to the elements of the infinite material response functions and to the cleavage and coupling operators. A general and unified formulation valid as well in matrix algebra as in the algebra of differential equations results from this approach. Any general theory is abstract ; simple examples help very much to understand it. The principal aim of this review paper is the introduction of a general theory for composite systems through simple and analytical examples from the fields of phonons, magnons and electrons in the lamellar composite materials. In order to achieve this goal, the algebra of the examples is as explicit as possible. The references of what was already realized in theory of composite response are discussed also. A prospective and non exhaustive study of all the fields where such a theory can prove to be helpful is given also in this review paper.