La physique des tas de sable.

Description phénoménologique de la propagation des contraintes dans les matériaux granulaires

Sandpile physics.

A phenomenological description of stress propagation in granular materials

Service de Physique de l'État Condensé, Orme des merisiers, 91191 Gif-sur-Yvette Cedex, France.

Résumé

Ce travail porte sur la description de la manière dont les forces se propagent dans les milieux granulaires comme le sable. Cette catégorie de matériaux est en fait très vaste, et pouvoir prédire de manière satisfaisante la répartition des contraintes au sein d'un système granulaire est un enjeu industriel réel et concret. Or ceci est difficile. Une des raisons en est que cette répartition est très inhomogène : les forces que l'on applique à un empilement sont majoritairement supportées et véhiculées par une fraction seulement des grains, qui forment alors de véritables chaînes de force – ou voûtes. Il en découle par exemple que le profil de pression sous un tas de sable dépend de la manière dont celui-ci a été construit.
Pour décrire quantitativement ces effets, nous avons proposé une relation phénoménologique de friction entre les voûtes. Les équations différentielles qui en résultent sont de type hyperbolique. Cela signifie en particulier qu'il existe des lignes privilégiées de propagation appelées caractéristiques, que nous avons fait coïncider avec ces voûtes. Ces modèles reproduisent bien les données expérimentales, et permettent entre autres d'expliquer la présence d'une dépression au centre du tas lorsque celui-ci est construit avec un entonnoir. Ils améliorent également les prédictions du modèle de Janssen pour le silo.
Nous nous sommes aussi intéressés aux fluctuations de ces contraintes, et nous avons mis en évidence le caractère fragile – i.e. réarrangeant – d'un empilement granulaire. Ceci a particulièrement été étudié au sein d'un modèle scalaire très simple qui permet de visualiser les variations de la structure interne d'un système granulaire et les changements dans la distribution des forces qui en résulte.

Abstract

This work deals with the stress distribution in dry granular media such as sand. As a matter of fact, the granular family is amazingly wide: raw materials used in building, chemical or food industries are made of little grains. Predicting how forces propagate and fluctuate into granular media is then a real and concrete challenge. This goal is not easy to reach. One reason is that the stress distribution is strongly inhomogeneous: the forces applied on a granular system will be supported almost entirely by a fraction of the grains which form chains, or arches. As a consequence, the stress profile beneath a sandpile depends on the way that the pile was built.
In order to describe quantitatively these effects, we proposed a phenomenological friction relation between arches. The differential equations which come out from this modelling are of hyperbolic type, which means that there exists particular lines for propagation called characteristics. We managed to match these characteristics with arches. These models fit well with experimental data, and can explain for example the dip of pressure observed beneath the apex of a pile made with a hopper. They also significantly improve Janssen's predictions for the silo.
We also looked at stress fluctuations, and showed that granular material are intrinsically fragile when subjected to changing external forces or perturbations. This property has been particulary studied within a scalar arching model with which we were able to visualize changes of stress paths and subsequent changes of the stress distribution.