Rotations et moments angulaires en mécanique quantique

Rotations and angular moments in quantum mechanics

Institut de Physique Nucléaire, CNRS-IN2P3, Université Paris-Sud, 91406 Orsay Cedex, France.

Résumé

Comme en mécanique classique, la rotation en mécanique quantique est une transformation qui fait intervenir le moment cinétique. La différence avec la mécanique classique vient du fait que le moment cinétique est un opérateur vectoriel et non pas un vecteur ordinaire, et que ses composantes ne commutent pas deux-à-deux. Comme pour toute transformation en mécanique quantique, à chaque rotation est associé un opérateur qui agit dans l'espace des états. L'expression de cet opérateur de rotation dépend du type de rotation envisagée : rotation passive si on effectue une rotation du système de référence sans changer le système physique, rotation active si on laisse le système de référence inchangé mais on effectue une rotation sur le système physique.
La première partie (Chaps. 1 et 2) de cet ouvrage traite ces deux aspects. Après avoir défini la transformation géométrique associée à la rotation la plus générale, on donne l'expression de l'opérateur de rotation dans chacun des deux cas. Les lois de transformation des champs scalaires, des champs de vecteurs et des champs de spineurs sont données ainsi que les lois de transformation des opérateurs scalaires, vectoriels et plus généralement des opérateurs de rang quelconque.
La seconde partie (Chaps. 3 et 4) traite l'algèbre des moments angulaires. On définit les coefficients de couplage de 2, 3 et 4 moments angulaires ainsi que les coefficients de recouplage. La notion d'opérateur tensoriel irréductible, généralisation des opérateurs scalaire, vectoriel est introduite ainsi que le théorème de Wigner-Eckart. Les formules d'application dans des cas complexes sont données.

Abstract

Rotations and angular moments in quantum mechanics As in classical mechanics, rotation in quantum mechanics is a transformation which deals with angular momentum. The difference with classical mechanics comes from the fact that angular momentum is a vector operator and not a usual vector and its components do not commute. As for any transformation in quantum mechanics, to each rotation we can associate an operator which acts in state space. The expression of this operator depends on whether the rotation is passive, that is we do a rotation of the coordinate axes and the physical system is left unchanged, or active, in which case the coordinate axes are unchanged and the rotation is performed on the physical system.
In the first part (Chaps. 1 and 2) of this book, details concerning both aspects are given. Following the definition of the geometrical transformation associated with the most general rotation, we give the expression of the rotation operator for specific cases. Transformation laws for scalar fields, vector fields and spinor fields are given as well as transformation laws for scalar operators, vector operators and more generally, for operators of any rank.
The second part (Chaps. 3 and 4) deals with angular momentum algebra. We define the coupling coefficients of 2, 3 and 4 angular momenta as well as the recoupling coefficients. The definition of the irreductible tensor operator, which is a generalisation of scalar and vector operators, is given as well as the Wigner-Eckart theorem. The application of this theorem to more complex cases is studied.