Noble internal transport barriers and radial subdiffusion of toroidal magnetic lines

Barrières internes de transport " nobles " et sous-diffusion radiale des lignes magnétiques toroïdales

¹ Association Euratom-C.E.A. sur la Fusion, CEA/DSM/DRFC, C.E.A.-Cadarache, 13108 Saint-Paul-lez-Durance, France.

² Association Euratom-M.E.C., Dept of Physics, University of Craiova, Str. A.I. Cuza No 13, Craiova-1100, Romania.
³ Association Euratom-M.E.C., National Institute of Laser, Plasma and Radiation Physics, P.O. Box MG-36, Magurele, Bucharest, Romania.
⁴ Association Euratom-État Belge sur la Fusion, Université Libre de Bruxelles, CP 231, Campus Plaine, Boulevard du Triomphe, 1050 Bruxelles, Belgium.

Abstract

Internal transport barriers (ITB's) observed in tokamaks are described by a purely magnetic approach. Magnetic line motion in toroidal geometry with broken magnetic surfaces is studied from a previously derived Hamiltonian map in situation of incomplete chaos. This appears to reproduce in a realistic way the main features of a tokamak, for a given safety factor profile and in terms of a single parameter L representing the amplitude of the magnetic perturbation. New results are given concerning the Shafranov shift as function of L. The phase space () of the "tokamap" describes the poloidal section of the line trajectories, where is the toroidal flux labelling the surfaces. For small values of L, closed magnetic surfaces exist (KAM tori) and island chains begin to appear on rational surfaces for higher values of L, with chaotic zones around hyperbolic points, as expected. Island remnants persist in the chaotic domain for all relevant values of L at the main rational q-values.
Single trajectories of magnetic line motion indicate the persistence of a central protected plasma core, surrounded by a chaotic shell enclosed in a double-sided transport barrier: the latter is identified as being composed of two Cantori located on two successive “most-noble” numbers values of the perturbed safety factor, and forming an internal transport barrier (ITB). Magnetic lines which succeed to escape across this barrier begin to wander in a wide chaotic sea extending up to a very robust barrier (as long as which is identified mathematically as a robust KAM surface at the plasma edge. In this case the motion is shown to be intermittent, with long stages of pseudo-trapping in the chaotic shell, or of sticking around island remnants, as expected for a continuous time random walk.
For values of , above the escape threshold, most magnetic lines succeed to escape out of the external barrier which has become a permeable Cantorus. Statistical analysis of a large number of trajectories, representing the evolution of a bunch of magnetic lines, indicate that the flux variable asymptotically grows in a diffusive manner as with a L² scaling as expected, but that the average radial position asymptotically grows as while the mean square displacement around this average radius asymptotically grows in a subdiffusive manner as . This result shows the slower dispersion in the present incomplete chaotic regime, which is different from the usual quasilinear diffusion in completely chaotic situations. For physical times of the order of the escape time defined by , the motion appears to be superdiffusive, however, but less dangerous than the generally admitted quasi-linear diffusion. The orders of magnitude of the relevant times in Tore Supra are finally discussed.

Résumé

Les barrières internes de transport observées dans les tokamaks sont décrites ici dans une approche purement magnétique. Le mouvement des lignes magnétiques en géométrie toroïdale avec brisure des surfaces magnétiques est étudié à partir d'une application hamiltonienne "tokamap" développée précédemment en situation de chaos incomplet, et dans laquelle le "temps" est représenté par la coordonnée toroïdale. Cette application reproduit de façon réaliste les principales caractéristiques d'un tokamak, pour un profil donné du facteur de sécurité q, et en terme d'un seul paramètre L représentant l'amplitude de la perturbation magnétique. On obtient des résultats nouveaux concernant le déplacement de Shafranov en fonction de L. L'espace des phases du "tokamap" décrit la section poloïdale des trajectoires des lignes, où est le flux toroïdal caractérisant les surfaces magnétiques (proportionnel au carré du rayon r de cette surface). Pour de faibles valeurs de L, des surfaces magnétiques fermées existent (tores de KAM) et des chaînes d'îlots commencent à apparaître sur les surfaces rationnelles pour des valeurs de L supérieures, avec, comme attendu, des zones chaotiques autour des points hyperboliques. Des résidus d'îlots magnétiques persistent dans le domaine chaotique pour toutes les valeurs de L, sur les surfaces caractérisées par les principales valeurs rationnelles de q.
Des trajectoires individuelles de ligne magnétique indiquent la persistance d'un cœur protégé au sein du plasma, entouré d'une couche chaotique, incluse dans une double barrière de transport : celle-ci est composée de deux Cantori situés sur deux valeurs successives du facteur de sécurité perturbé que l'on a pu identifier comme étant les nombres "les plus nobles", formant ainsi une barrière de transport interne. Les lignes magnétiques qui réussissent à s'échapper à travers cette barrière commencent à voyager dans une vaste mer chaotique qui s'étend jusqu'à une barrière très robuste (tant que ) qui a été identifiée mathématiquement comme étant une surface KAM robuste au bord du plasma. Dans ce cas le mouvement observé est intermittent, avec de longues périodes de pseudo-piégeage dans la couche chaotique, ou du collage (sticking) autour des îlots résiduels, comme attendu pour une marche aléatoire en temps continu.
Pour des valeurs de , au-dessus du seuil d'échappement, la plupart des lignes magnétiques parviennent à s'échapper à travers la barrière externe qui est devenue un Cantorus perméable. L'analyse statistique d'un grand nombre de trajectoires, représentant l'évolution d'un faisceau de lignes magnétiques, indique qu'en moyenne la variable de flux ψ croît asymptotiquement de manière diffusive (comme ) avec une loi d'échelle en L² comme attendu, mais avec une position radiale moyenne ) croissant asymptotiquement comme , tandis que le déplacement quadratique moyen autour de ce rayon moyen croît asymptotiquement de manière sous-diffusive comme . Ce résultat indique une dispersion plus lente dans le cas étudié d'un régime de chaos incomplet, qui est différente de la diffusion quasi-linéaire en situation de chaos complet. Pour des temps physiques de l'ordre du temps d'échappement, défini par , le mouvement apparaît comme super-diffusif, mais cependant moins " dangereux " que la diffusion quasi-linéaire généralement admise. On discute finalement les ordres de grandeur des temps caractéristiques dans le tokamak TORE SUPRA.