Derivation of the radiative transfer equation for line polarization studies in the presence of magnetic field in astrophysics

Laboratoire Astrophysique, Atomes et Molécules, URA 0812 du C.N.R.S., Département Atomes et Molécules en Astrophysique, Observatoire de Paris, Section de Meudon, F-92195 Meudon Cedex, France

Abstract

In this paper, we derive in a coherent manner, starting from the basic equations of evolution of a quantum mechanical system, the transfer equation for a polarized pencil of radiation interacting with a bath of atoms, in the presence of a weak magnetic field (in the domain of sensitivity to the Hanle effect: 0.1 ≲ ω Lτ ≲ 10). This paper has been inspired by astrophysical purposes: the interpretation of line polarization induced by anisotropic excitation of the levels, eventually modified by the local magnetic field (the Hanle effect); the polarization can be due to scattering of the incident anisotropic radiation, as in solar prominences, or to impact polarization, as in solar flares. The physical conditions are then those of astrophysical media: any direction of polarization and magnetic field, two-level atom approximation not valid, weak radiation field (so that the bare atom description is convenient), weak density of perturbers (so that the impact approximation is valid). In the preceding paper (paper I), the master equation for the atomic density matrix has been derived in the framework of the impact approximation. In the present paper, we obtain the spontaneous emission 4-vector and absorption and stimulated emission 4 x 4 matrices entering the transfer equation for polarized radiation, as functions of the absorbed and emitted radiation polarization tensors, themselves functions of the Zeeman coherences of the atomic density matrix. In the present work line profiles have been ignored: line profile studies are rejected to future work.

Résumé

Dans ce travail, nous obtenons d'une manière cohérente, à partir des équations fondamentales d'évolution d'un système quantique, l'équation de transfert pour un pinceau de rayonnement polarisé en interaction avec un "bain" d'atomes soumis à un champ magnétique faible (dans le domaine de sensibilité à l'effet Hanle : 0,1 ≲ ω Lτ ≲ 10). Ce travail a été motivé par des buts astrophysiques: l'interprétation de la polarisation de raies induite par excitation anisotrope des niveaux, et modifiée éventuellement par le champ magnétique local (effet Hanle) ; la polarisation peut résulter soit de la diffusion d'un rayonnement incident anisotrope, comme dans les protubérances solaires, soit de l'impact de particules (électrons ou protons), comme dans les éruptions solaires. Les conditions physiques sont donc celles des milieux astrophysiques : directions quelconques de la polarisation et du champ magnétique, approximation de l'atome à 2 niveaux insuffisante, champ de rayonnement faible (tel que le formalisme de l'atome nu soit suffisant), densité de perturbateurs faible (telle que l'approximation des impacts soit suffisante). Dans l'article précédent (article I), l'équation pilote pour la matrice densité atomique a été établie dans le cadre de l'approximation des impacts. Dans le présent travail, nous obtenons le quadrivecteur d'émission spontanée et les matrices 4 x 4 d'absorption et d'émission induite, qui entrent dans l'équation de transfert du rayonnement polarisé, comme fonctions des tenseurs polarisation du rayonnement émis et absorbé, qui s'expriment eux-mêmes comme fonctions des cohérences Zeeman de la matrice densité atomique. Dans le présent travail, nous n'avons pas tenu compte du profil des raies: l'introduction de ces profils sera abordée dans un travail ultérieur.