A comprehensive quantum theory of diffusion

¹ Department of Theoretical Physics. Soreq Nuclear Research Centre, Yavné, Yavné (Israël), Israël.

Abstract

A basically quantum mechanical approach to the elementary diffusion process—the particle jump— is presented. The discussion is preceded by a review of the classical theory, its shortcomings and early attempts at quantum mechanical treatment. The theory presented is a comprehensive one describing the different « channels » available for the jumping process. The main channels discussed are: the single phonon induced tunneling process, active at very low temperatures ; the weak coupling, Orbach-type process, which may lead to an Arrhenius — type expression with parameters incompatible with the classical picture; and the strong coupling, tunneling—bottleneck type process, which among others leads to the classical expression. Jumping probabilitites are calculated and the validity limits of the different expressions are given. The overall behavior of the diffusion process is discussed with consideration given to the possibility of different « channels » being open at different temperatures. It is shown that at moderate and high temperatures the log W versus 1/T plot may become non-linear and the pre-exponential factor may become very different from the classical value.

Résumé

Ce travail présente un traitement essentiellement quantique, décrivant le processus élémentaire de la diffusion atomique — saut de la particule. La discussion est précédée par une révision de la théorie classique et de ses difficultés, ainsi que des premières tentatives d’un traitement quantique. La théorie ici présentée est globale, décrivant les différents « canaux » possibles pour le saut. Les « canaux » discutés en détail sont : le tunnelage induit par un seul phonon, processus qui est actif à des très basses températures, les processus de type Orbach pour le couplage faible qui conduit à des expressions semblables à celle d'Arrhenius, mais avec des paramètres incompatibles avec la description classique et le « tunneling bottle-neck » pour le couplage fort, qui, entre autres, nous conduit à l’expression classique. Les probabilités de sauts sont calculées et les limites de validité pour les différentes expressions sont données. Le comportement général du processus de diffusion est discuté, en prenant en considération la possibilité d’avoir différents « canaux » ouverts à des températures différentes. On montre que pour des températures moyennes et élevées, le graphe de log W en fonction de 1/T peut devenir non linéaire et le facteur pré-exponentiel peut être très différent de sa valeur classique.