Simple derivation of magnetic space groups (I)

Dérivation simple de groupes d’espace magnétiques

Laboratoire des Rayons X (C. N. R. S.), B. P. 166, Centre de Tri — F 38042 - Grenoble Cedex, France. Laboratoire de Diffraction Neutronique (C. E. N. G., D. R. F.), B. P. 85 — F 38041 - Grenoble Cedex, France.

Abstract

The magnetic translation lattices can be described by invariant wave vectors k. Advantages of the wave vector notation over the notations used by Belov et al. and Opechowski et al. are pointed out. In a one-dimensional real representation a space group element (α | τα) has either the character + 1 (symmetry element) or — 1 (antisymmetry element). Thus the square of any space group operation must have the character + 1 in a one-dimensional real representation. This simple « square criterion » is used to limit the admissible k-vectors and to derive the family of magnetic space groups, i. e. the set of all possible magnetic space groups, belonging to the same crystallographic space group. In the discussion some useful side results are obtained. Not only the real one-dimensional representations of point groups are connected to real one-dimensional representations of space groups, but a direct connection is shown to exist between one-dimensional complex representations of the point groups 3, 4 and 6 and one-dimensional real representations, belonging to [math] = P_2c (P_c)-lattices with screw axes 3₁, 3₂, 4₂, 6₂ and 6₄.

Finally we derive rules for finding the Belov symbol when the Opechowski-Guccione symbol of the magnetic space group is known and use this opportunity for correcting errors in the Opechowski-Guccione tables.

Résumé

Les réseaux de translations magnétiques peuvent être décrits par des vecteurs d’onde k invariants. Les avantages de cette notation à l’aide d’un vecteur d’onde par rapport aux notations de Belov d’une part, et d’Opechowski-Guccione d’autre part, sont soulignés. Dans une représentation réelle à une dimension un élément (α|τα) d’un groupe d’espace a ou bien le caractère + 1 (élément de symétrie) ou bien 1 (élément d’antisymétrie). Par conséquent, le carré d’une quelconque opération d’un groupe d’espace doit avoir le caractère + 1 dans une représentation réelle à une dimension. Ce simple critère du carré positif est utilisé pour limiter les vecteurs d’onde k admissibles et pour dériver la famille de groupes d’espace magnétiques, c’est-à-dire l’ensemble de tous les groupes d’espace magnétiques possibles, appartenant au même groupe d’espace cristallographique.

Quelques résultats latéraux sont obtenus dans la discussion. Non seulement les représentations réelles à une dimension des groupes ponctuels sont connectées aux représentations réelles à une dimension des groupes d’espace, mais de plus on montre qu’une connexion directe existe entre les représentations complexes à une dimension des groupes ponctuels 3, 4 et 6 et les représentations réelles à une dimension appartenant à des réseaux

[math]

ayant des axes hélicoïdaux 3₁, 3₂, 4₂, 6₂ et 6₄.

Finalement, nous énonçons les règles permettant de trouver le symbole de Belov lorsque celui d’Opechowski- Guccione est connu pour un groupe magnétique donné et nous corrigeons, à cette occasion, quelques erreurs des tables d’Opechowski-Guccione.