Etude de quelques fonctionnelles du mouvement brownien et de certaines propriétés de la diffusion unidimensionnelle en milieu aléatoire

On Some Functionals of Brownian Motion with Applications to Winding Properties of Planar Brownian Curves and to Transport Properties of One-Dimensional Diffusion in Random Media

¹ Division de Physique Théorique (Unité de recherche des Universités Paris 11 et Paris 6 associée au CNRS) , IPN, Bât. 100, 91406 Orsay, France.
² L.P.T.P.E., Université Paris 6, 4 Place Jussieu, 75252 Paris, France.

Résumé

Cet article porte sur l'étude des distributions de probabilité de quelques fonctionnelles du mouvement brownien qui interviennent dans divers contextes physiques. Le paragraphe 2 présente une méthode d'intégrale de chemin qui relieles distributions de probabilité de certaines fonctionnelles du mouvement brownien, à des fonctions de Green euclidiennes de la mécanique quantique. Cette approche permet notamment d'étudier certaines propriétés d'enroulementdu mouvement brownien plan, qu'il soit libre ou soumis à l'action d'un potentiel extérieur. Les fonctions d'échelle et les formes des lois asymptotiques à grand temps de l'enroulement autour d'un point dépendent des propriétés spectrales de basse énergied'une famille d'hamiltoniens contenant un potentiel vecteur de type Aharonov-Bohm.Le paragraphe 3 a pour l'objet l'étude de la loi de probabilité d'une fonctionnelle exponentielle du mouvement brownien qui intervient dans le cadnG de la diffusion unidimensionnelle aléatoire. Celle-ci apparaît notamment lorsque l'on s'intéresse à la distribution du flux de particules quitraverse un échantillon désordonné de taille finie, lorsque les particules diffusent classiquement, sous l'action d'une force aléatoire gelée distribuée comme un bruit blanc gaussien. Le spectre de relaxation de la distribution du flux par rapport à longueur de l'échantillon présente une branche continue et quelques états discrets, dont le nombre dépend de l'importance du désordre par rapport à la force moyenne.La fonctionnelle exponentielle étudiée intervient aussi dans l'étude du mouvement brownien libre sur le demi-plan de Poincaré, et s'inscrit plus largement dans le cadre des processus stochastiques multiplicatifs.

Abstract

This paper deals with functionals of Brownian motion that appear in various contexts, and with some properties of anomalous diffusion in a one-dimensional random environment. Section 2 explains why path integrals provide a powerful framework to compute probability distribution of functionals of Brownian motion. This approach is used to study winding properties of planar Brownian motion. Section 3 is devoted to an exponential functional of Brownian motion, which arise in particular in the study of transport properties of classical diffusion in a one-dimensional disordered system of finite length. This functional belongs to the field of multiplicative stochastic processes.