Propriétés d'un fil quantique connecté à des fils de mesure

Transport through a quantum wire connected to measuring leads

DSM/DRECAM/SPEC, Orme des Merisiers, CEA/Saclay, 91128 Gif-sur-Yvette, France

Résumé

Une nouvelle approche du transport dans un fil quantique est proposée, fondée sur une adaptation de l'approche de diffusion à un fil avec interactions (liquide de Tomonaga-Luttinger). Une équation cinétique est développée, permettant de tenir compte des réservoirs, mais aussi d'obtenir des résultats d'une façon directe. Il est ainsi montré que la conductance DC du fil propre est indépendante des interactions à portée et profil arbitraires, et reste égale à e2/h. Les réservoirs sont simulés par le flux qu'ils injectent, lequel est introduit comme condition aux bords de l'équation cinétique. Afin d'identifier les flux d'électrons incident et transmis, des fils intermédiaires sans interactions sont introduits, et le système global est traité comme un liquide de Tomonaga-Luttinger inhomogène. La transmission du flux est parfaite dans la limite stationnaire : un électron incident est transmis en une série de charges partielles spatialement séparées dont la somme vaut l'unité. Il est par ailleurs remarquable que les parties charge et spin transmises restent séparées dans le fil externe sans interactions. La conductance est déduite de la transmission parfaite suivant un argument analogue à celui de l'approche de diffusion. Elle peut aussi être reliée exactement à la transmission en modélisant les réservoirs par un potentiel électrostatique externe fixé. Elle est donc égale à e2/h pour une portée finie arbitraire des interactions. Ce résultat de conductance a été confirmé par des observations expérimentales récentes sur les fils quantiques (Tarucha et al. et Yacoby et al.) dont la conductance présente un plateau à e2/h dans la limite balistique (haute température). Ceci contredit le consensus général jusque-là admis, prédisant en particulier une réduction de la conductance par des interactions répulsives qui devient encore plus importante pour des interactions à longue portée. Le transport dynamique est développé en présence des contacts. La conservation globale de la charge est assurée en tenant compte d'une grille avoisinante. Les coefficients de conductance dynamiques sont exprimés en fonction de la transmission et de la réflexion des plasmons, qui dépendent eux-mêmes des interactions. Il est possible d'étendre cette approche à des fils de mesure avec interactions, quoique des hypothèses supplémentaires sont nécessaires. Par ailleurs, dans le cas usuel d'interactions invariantes par translation, ce travail en donne une revue relativement complète, en suivant des méthodes différentes et en dérivant parfois des résultats distincts de la littérature courante sur le sujet. Nous discutons aussi d'autres procédures de mesure proposées plus récemment afin de retrouver le résultat de conductance DC e2/h. En particulier, nous montrons que la conductance ainsi redéfinie est déterminée par la rigidité de charge. Dans le liquide de Tomonaga-Luttinger connecté à des fils parfaits, le rôle de barrières ou de désordre faibles, ainsi que d'imperfections aux contacts, est étudié par des méthodes perturbatives renormalisées. Il s'avère que la conductance DC g devient contrôlée par les interactions. Bien que nous retrouvons dans certains cas les lois de puissance typiques du liquide de Luttinger, les contacts, brisant l'invariance par translation, interviennent d'une façon non-triviale : la conductance a un comportement non universel, dépendant de l'emplacement des impuretés et de la longueur du fil. Grâce à la taille finie, nous pouvons obtenir explicitement le comportement à basse température, et observer la saturation prédite par des arguments intuitifs dans le fil infini, mais aussi déceler les limitations de tels arguments. Pour un désordre étendu, nous montrons que les fluctuations relatives de e2/h-g sont de l'ordre de L T/L à haute température (L T=v F/T>L), mais saturent à 1/2 à basse température. Ce résultat s'applique avec ou sans spin, seule la dépendance en L T ou L de la variance change. De surcroît, un cadre formel et général est développé pour traiter un faible désordre à température finie, utile pour un fil non invariant par translation, mais aussi pour le liquide de Luttinger usuel. En particulier, les équations de renormalisation sont dérivées pour une ou deux barrières. En plus des propriétés de transport, d'autres phénomènes intéressants émanent de ce modèle d'interactions inhomogènes. En particulier, la réflexion à l'interface entre deux liquides de Luttinger de paramètres distincts est analogue à la réflexion d'Andreev ; le côté normal (supraconducteur) est celui où le paramètre est le plus petit (grand). Ainsi, dans un état de bord connecté à un liquide de Fermi, une quasi-particule de Laughlin est réfléchie en quasi-trou. D'autre part, le renforcement d'une fonction de corrélation d'onde de densité de charge ou de type supraconducteur s'étend au-delà de l'interface jusqu'à la longueur la plus petite (parmi L ou L T ou une autre longueur externe), renormalisée par le paramètre d'interaction. Ceci rappelle l'effet de proximité induit par un supracoducteur dans un métal normal. Enfin, il se produit aussi un autre effet intéressant : les fils externes sans interactions suppriment une tendance au cristal de Wigner au-dessous d'une température de crossover qui dépend de la position et augmente lorsqu'on s'approche des contacts.

Abstract

We investigate a one-dimensional wire of interacting electrons connected to one-dimensional leads in the absence then in the presence of weak backscattering potential. The global system is treated as an inhomogenous Tomonaga-Luttinger liquid. The conductance of the clean wire is not renormalized by the interactions for any spatial variation of the interaction parameters as well as for Coulomb interactions restricted to the wire. This result contradicts the common believe that interactions renormalize the conductance. The most straightforward and physically appealing way to find the conductance is through its relation to the transmission. There is no general Landauer formula for an interacting one-dimensional wire; for the present model however it is established rigorously. A new concept is introduced by imposing the injected flux by the reservoirs as an initial condition for the equation of motion of the density. The total transmission turns out to be perfect. The conductance result can be also derived using Kubo formula, as long as the reservoirs impose the boundary conditions. If the interactions are switched abruptly at the contacts, an electron incident on the wire is reflected into a series of partial spatially separated charges that sum up to unity. The wire separates the charge and spin parts of the incident electron even in the noninteracting leads. The dynamic conductance coefficients are expressed through the transmission and reflection of plasmons, and global charge conservation is ensured by taking a close gate into account. The transmission process affects the density-density or pairing correlation functions: they are enhanced on the bulk of the wire as in an infinite Luttinger liquid, then extend to the external noninteracting leads in a way reminiscent of the proximity effect. In case interactions are attractive, the reflexion of an incident electron on the wire is the analogous of Andreev reflexion on a gapless superconductor. While the DC conductance of the clean wire is insensitive to interactions, the Tomonaga-Luttinger model features manifest in the presence of backscattering potential. The leading renormalization equations are derived explicitly at finite temperature for any weak backscattering potential; the developed formalism is suited to any noninvariant translational interactions. The role of impurities is found to be governed by the interactions in the wire, but is affected by the external leads, especially for very repulsive interactions because the tendency towards the Wigner crystal is suppressed at low temperature. The reduction in the conductance R=g- e2 /h has a non-trivial power law behavior. For randomly distributed weak impurities, we compute the conductance fluctuations; the ratio Var(R)/ < R > 2 saturates at 1/2 in the low temperature limit indicating that the relative fluctuations of R increases as one lowers the temperature. Recent remarkable experiments on quantum wires are discussed; the conductance in the ballistic limit seems in accordance with our prediction. Concerning the clean wire, other alternatives of measurement are also discussed. The Kubo formula as a response to the local field is reconsidered in a generic Luttinger liquid: the "intrinsic" conductance thus obtained is found to be determined by the same combination of interaction parameters as that which renormalizes the current.