Equilibre et effondrement gravitationnel des étoiles en relativité générale et en symétrie sphérique

Département d'Astrophysique Relativiste et de Cosmologie, UPR 176 du C.N.R.S., Observatoire de Paris, Section de Meudon, 92195 Meudon Cedex, France

Résumé

Cet article présente, dans le cadre de la relativité générale, les principales propriétés des objets autogravitants à symétrie sphérique, aussi bien statiques (étoiles en équilibre) que dynamiques (étoiles en effondrement gravitationnel). L'hypothèse simplificatrice de la symétrie sphérique ainsi qu'un certain choix de coordonnées et de variables hydrodynamiques conduisent à des équations de forme "quasi-newtonienne". Ainsi, pour un fluide parfait, la généralisation de l'équation d'Euler a une forme très simple, dont chaque terme s'interprète facilement. L'étude des caractéristiques du système des équations hydrodynamiques donne une expression simple pour la vitesse du son relativiste. Dans le cas à vitesse nulle, les équations se réduisent au système usuel de Tolman-Oppenheimer-Volkoff qui régit les équilibres hydrostatiques en relativité générale. Des rappels sur la stabilité de ces derniers sont effectués et leurs propriétés sont illustrées par l'exemple concret des polytropes. La comparaison avec les polytropes newtoniens met en évidence les principaux effets relativistes, comme l'existence d'une masse maximale quelle que soit la dureté de l'équation d'état, et permet d'interpréter les diverses masses maximales "historiques"en termes d'équation d'état ou de théorie de la gravitation. Le cas dynamique est illustré par la solution analytique d'Oppenheimer-Snyder qui concerne l'effondrement en trou noir d'une boule homogène de matière à pression nulle. Cette solution est ré-exprimée dans les coordonnées utilisées, ce qui permet de décrire le comportement des variables métriques et hydrodynamiques introduites plus haut dans une situation relativement proche des effondrements gravitationnels d'étoiles en trou noir. On en conclut que le système de coordonnées et de variables introduit est relativement bien adapté à la description de ces effondrements.

Abstract

This article presents, within the framework of general relativity, the principal features of spherically symmetric self-gravitating objects, either static (stars in equilibrium) or dynamic (stars in gravitational collapse). The Einstein equations are written in the so-called RGPS coordinates which are employed in some numerical studies of gravitational collapse. These coordinates generalize the Schwarzschild coordinates to the non-vacuum and non-static case. In terms of the 3+1 formalism of general relativity, they are defined by the maximal slicing and the radial gauge. They are used here in conjunction with particular hydrodynamical variables, as the fluid energy density and velocity both as measured by an observer who generalizes the classical Eulerian observer. The resulting equations for self-gravitating fluids have then simple expressions, of Newtonian aspect. For instance, the generalization of the Euler equation has a very simple form, each term of which can be easily interpreted. The discussion of the equations reveals a global quantity as the total mass-energy of the star. This quantity is conserved during the evolution, in agreement with the fact that there is no gravitational wave emission in spherical symmetry. Besides, the study of the characteristic curves of the system of hydrodynamical equations leads to a simple expression for the relativistic sound velocity. In the case of a vanishing velocity, the equations are reduced to the usual Tolman-Oppenheimer-Volkoff system, which governs the hydrostatic equilibriums in general relativity. Properties of these latter ones, as well as results about their stability, are reminded. An illustration is provided with the specific exemple of polytropes. The comparison with the Newtonian polytropes displays the major relativistic effects, as the existence of a maximum mass, whatever the stiffness of the equation of state may be. This allows one to interpret the various maximum masses which appeared in the literature in terms of equation of state and theory of gravitation. For instance, the Chandrasekhar maximum mass for white dwarfs is entirely due to the softness of the equation of state, whereas the Oppenheimer-Volkoff maximum mass for neutron stars is a truly general relativistic effect. The dynamical case is illustrated by the analytical Oppenheimer-Snyder solution for the collapse into black hole of a homogeneous ball of pressureless matter. This solution is re-expressed here in terms of the RGPS coordinates instead of the classical Robertson-Walker ones, in order to analyse the behavior of the introduced metric and hydrodynamical variables, in a situation close to the realistic gravitational collapse of a star into black hole. The RGPS coordinates are able to follow the collapse up to the "frozen star" state, where no more subsequent evolution would be perceived by a remote observer. This leads to the conclusion that RGPS coordinates are valuable coordinates for numerical study of gravitational collapse in spherical symmetry.